Beim sogenannten Ziegenproblem, das in den 90er Jahren von Marilyn vos Savant, der Frau mit dem höchsten gemessenen IQ, in die Welt gesetzt wurde, geht es um das Rätsel dreier verdeckter Türen in einer Spielshow. An diesem mathematisch-logischen Gedankenexperiment haben sich die Gemüter in den vergangenen Jahren deshalb so sehr erhitzt, weil dem gesunden Menschenverstand die korrekte Lösung extrem zuwider ist.

Am so genannten Ziegenproblem bissen sich angeblich schon gestandene Mathematik-Professoren und Statistiker sowie Nobelpreisträger die Zähne aus. Heftige Streits und gegenseitige wüste Beschimpfungen waren die Folge, so dass PINGuino es an der Zeit gekommen sieht, eine Erklärung des Ziegenproblems so ausführlich zu präsentieren, die auch hartnäckige Zweifler zu überzeugen vermag.

Die Ausgangssituation ist folgende: Du nimmst an einer Spielshow im Fernsehen teil, bei der du eine von drei verschlossenen Türen 1, 2 oder 3 auswählen sollst. Hinter einer Tür wartet der Hauptgewinn, z.B. ein nagelneuer URGino-acaBot mit Laserscanner im Wert von 1500 €, hinter den beiden anderen Türen steht eine blöde Kunststoff-Ziege, die als Niete dient. Du triffst also deine Wahl und zeigst auf eine Tür, z.B. Tür 1. Sie bleibt vorerst geschlossen. Der Moderator zeigt sich dir gegenüber großzügig und öffnet eine der anderen beiden Türen, zum Beispiel Tür 3, hinter der sich eine Ziege befindet. Er bietet dir an, von deiner Erstwahl, Tür 1, abzulassen und dafür Tür 2 zu wählen.

Wie sollst du dich nun verhalten, um deine Gewinnchance zu erhöhen? Sollst du lieber bei deiner Erstwahl Tür 1 bleiben oder lieber Tür 2 wählen? Ist es vielleicht sogar ganz egal, für welche der beiden Türen du dich nun entscheidest?

Die intuitive Antwort, die so gut wie jeder spontan von sich gibt, lautet: Es gibt nur noch zwei Türen, also beträgt die Wahrscheinlichkeit, auf die richtige Tür zu tippen, genau 1/2, d.h. 50 Prozent. Es macht also keinen Unterschied, ob man bei seiner Erstwahl bleibt oder die andere geschlossene Tür wählt.

Das Ziegenproblem wäre aber nicht die Königin der Denk-Illusionen, ein echtes acaProblem, wenn die Lösung so einfach wäre. Tatsächlich erhöhen sich die Gewinnchancen um ein Drittel, wenn man von seiner ursprünglichen Wahl ablässt und auf die andere Tür übergeht. Durch Computersimulation kann die Richtigkeit dieser Wechselstrategie gezeigt werden, was ein paar wenige Menschen dazu bringt, sie als Lösung zu akzeptieren - aber sie verstehen sie nicht wirklich. Nur notgedrungen nehmen sie die Wechselstrategie als Lösung zur Kenntnis, ohne genau zu wissen, warum sie von Vorteil ist. Der Großteil der anderen Zweifler kritisiert die Computersimulation und beharrt weiter auf der falschen Lösung.

Dabei ist die Erklärung gar nicht so schwer, wenn sie richtig aufbereitet wird, wie unten gezeigt:

1. Schritt: Du wählst eine Tür (hier z.B. Tür 1)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich der tolle URGino-acaBot hinter dieser Tür 1 befindet? --- Die Wahrscheinlichkeit, dass Tür 1 ein Treffer ist, beträgt ein Drittel. Hättest du Tür 2 oder 3 gewählt, wäre die Trefferwahrscheinlichkeit genau so groß, nämlich jeweils ein Drittel.

2. Schritt: Zur Verständniserleichterung werden die drei Türen in zwei Felder A und B gruppiert

Angenommen - rein fiktiv als Gedankenspiel - der Moderator böte dir an (was er nicht tut, denn es handelt sich an dieser Stelle nur um ein Gedankenspiel zur Verständniserleichterung), wenn du auf Tür 1 verzichtest, darfst du statt dessen beide Türen aus Feld B öffnen, also Tür 2 und Tür 3. Wie würdest du dich entscheiden?

Auf jeden Fall würdest du auf das Angebot des Moderators eingehen. Der Grund ist einfach: vorher hattest du mit Feld A nur eine Gewinnchance von 1/3; durch das Angebot des Moderators aber erhöht sich deine Chance auf 2/3.

Wir einigen uns an dieser Stelle also UNWIDERRUFLICH darauf: Du würdest auf das Angebot des Moderators eingehen und dich für die beiden Türen aus Feld B entscheiden, anstatt auf die eine Tür in Feld A! Also streichst du Tür 1 nun aus deinem Gedächtnis, es gibt sie nicht mehr, denn du hast dich für die beiden Türen in Feld B entschieden. Und diese Entscheidung war gut so, denn du hast ja eine 1/3-Chance gegen eine 2/3-Chance eingetauscht.

Aber leider gibt es dieses Angebot des Moderators nicht wirklich. Zumindest nicht in der gerade beschriebenen Form. Aber indirekt gibt es dieses Angebot doch! In der Spielshow nämlich wählt der Moderator nun eine der beiden Türen aus Feld B für dich und öffnet sie sogleich. Es ist eine Ziege, na klar. Du brauchst jetzt nur noch die andere Tür aus Feld B öffnen, die der Moderator nicht geöffnet hat. Das ist im Prinzip genau dasselbe, als hätte es das zuvor genannte fiktive Angebot wirklich gegeben. Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist es unerheblich, ob du selbst beide Türen oder der Moderator die eine und du selbst die andere Tür öffnest. Auch spielt es für die Wahrscheinlichkeitsverteilung keine Rolle, in welcher Reihenfolge die beiden Türen in Feld B geöffnet werden.

Die Erklärung des Gesamtproblems ist damit noch nicht am Ende, sondern das war nur der erste Teil. Der diente ausschließlich dazu, unzweifelbar klarzumachen, mit Feld A beträgt die Wahrscheinlichkeit auf den Hauptgewinn 1/3, mit Feld B jedoch 2/3.

Wir nehmen an, der Moderator hat Tür 3 geöffnet. Was aber ist mit Tür 2? Ob sich der URGino-acaBot mit Sicherheit dahinter befindet, weiß nur der Moderator, aber für dich, den Kandidaten, befindet sich der Roboter nun, nachdem Tür 3 offen ist, mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 hinter ihr. An der 2/3-Wahrscheinlichkeit, dass sich der Roboter in Feld B befindet, hat sich nämlich nichts geändert. Nur eines hat sich geändert: Durch das Öffnen von Tür 3 wurden Feld B und Tür 2 zu einem 2/3-Wahrscheinlichkeitssynonym! Was hier mit Tür 2 geschieht, nämlich dass ihre 1/3-Wahrscheinlichkeit durch das Wegfallen einer Tür auf 2/3 steigt, ist für Tür 1 nicht möglich. Die Wahrscheinlichkeit für Tür 1 kann immer nur 1/3 betragen, denn weil du sie gewählt hast, kann der Moderator sie nicht mehr in sein Spiel einbeziehen. Die Wahrscheinlichkeit für die Tür, die du am Anfang wählst, ist immer festgelegt auf 1/3, die Wahrscheinlichkeit für die anderen beiden Türen hingegen ist dynamisch, d.h. sie kann sich erhöhen (hier: +1/3 für Tür 2) oder verringern (hier: -1/3 für Tür 3). Für den Spielkandidaten ist es immer besser, auf die Tür zu wechseln, deren Wahrscheinlichkeit sich dynamisch im Spielverlauf erhöht hat.

Ein großer Denkfehler liegt in der Annahme, dass nach dem Öffnen von Tür 3 alles wieder offen ist und sich die Wahrscheinlichkeit des URGino-acaBots auf Tür 1 und Tür 2 zu fifty-fifty verteilt. Dadurch, dass Tür 3 geöffnet wurde, hat sich keinerlei Umverteilung der Wahrscheinlichkeiten in Bezug auf die Felder A und B ergeben. Für Feld A bleibt die Wahrscheinlichkeit 1/3, für Feld B bleibt sie 2/3. Der Roboter und die beiden Ziegen befinden sich immer noch hinter denselben Türen. Es wurde kein neues 50/50-Spiel mit zwei Türen in Gang gesetzt. Also können sich - logisch gesehen - keine neuen Wahrscheinlichkeitsverhältnisse bilden.

Der letzte Verständnisschlüssel zur Lösung des Problems liegt im Verhalten des Moderators. (Zur Erinnerung: der Roboter befindet sich jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 hinter irgendeiner der Türen). Vielleicht hätte der Moderator sowohl Tür 2 als auch Tür 3 in Feld B öffnen können. Vielleicht. Vielleicht aber auch nicht. Mit einer 1/3-Wahrscheinlichkeit nämlich hatte er seinen Grund, dass er Tür 3 wählt, weil er Tür 2 gar nicht wählen durfte! Diese 1/3-bewusste Moderatorentscheidung schließlich ist der Grund dafür, dass sich die wegfallende 1/3-Wahrscheinlichkeit von Tür 3 nur auf Tür 2 dazuaddieren kann, und nicht auf Tür 1. Dadurch, dass es in dem Spiel zwei Nieten gibt, wird das Verhalten des Moderators absolut unabhängig davon, was sich hinter Tür 1 befindet oder nicht befindet. Durch die zwei Nieten hat der Moderator immer eine „sichere“ Ausweichmöglichkeit (hier Tür 3).

Resümee: Mit einer 1/3-Wahrscheinlichkeit befindet sich der URGino-acaBot in Feld A (Tür 1), mit einer 2/3-Wahrscheinlichkeit in Feld B (Tür 2). Du tust also besser daran, von Tür 1 auf Tür 2 zu wechseln. Wer von seiner Erstwahl ablässt und auf genau diejenige Tür wechselt, die der Moderator nicht geöffnet hat, steigert seine Gewinnchancen von 1/3 auf 2/3. Oder: wer wechselt, gewinnt in 2 von 3 Fällen, wer nicht wechselt in 1 von 3 Fällen. Zu diesem Ergebnis führt auch die Computersimulation. Der Programmcode hierfür ist übrigens ziemlich kurz und auch recht leicht zu verstehen. Er befindet sich, für Arduino geschrieben, unten.

PINGuino hofft, mit seiner Erklärung noch ein paar Zweifler davon überzeugt zu haben, dass die statistische Wahrscheinlichkeitsverteilung am Beispiel des Ziegenproblems weder unter die Schwarze Magie noch in die Kategorie Paradoxon fällt. Zudem ergreift PINGuino an dieser Stelle die Chance, darauf hinzuweisen, dass sehr wohl eine Million Fliegen irren können. Durch das Ziegenproblem wird die Grundannahme erschüttert, dass Menschen einsichtig handeln und ihre (Sach-)Wahl vornehmlich von logischen Gesichtspunkten geleitet ist. Im Gegenteil: das Ziegenproblem veranschaulicht in aller Deutlichkeit, wie sehr doch der menschliche Verstand erstaunliche Schwächen im Umgang mit Wahrscheinlichkeiten zeigt. Was einleuchtet, muss deshalb nicht stimmen! Insbesondere dann, wenn es drauf ankommt, können der gesunde Menschenverstand und die objektiven Fakten um Welten auseinander liegen.

--- der Arduino Code für das Ziegenproblem wird in Kürze nachgeliefert ---